دخول التلميذدخولسجّل مجانًا

الموضوع النموذجي 2 · رياضيات العام (النوفيام)

على نمط امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام (النوفيام): الحصّة ساعتان، الضارب 2، 5 تمارين على 20. المحاور: مركز الثقل في معيّن وهرم منتظم.

الموضوع PDFالإصلاح PDF
أنجز الموضوع في ساعتان على ورقة، ثمّ افتح عناصر الإجابة.

التمرين 1: أسئلة متعدّدة الاختيارات

3 نقاط

لكلّ سؤال من أسئلة هذا التمرين ثلاث إجابات مقترحة، واحدة فقط منها صحيحة. أنقل على ورقة تحريرك رقم السؤال والحرف الموافق للإجابة الصحيحة.

  1. العدد ⁦(−2)³ × 4⁻² × 2⁵⁩ يساوي:
    أ) 16ب) ⁦−1/16⁩ج) ⁦−16⁩
  2. موسّط السلسلة الإحصائية: ⁦12 ; 4 ; 9 ; 15 ; 7 ; 5⁩ هو:
    أ) 8ب) 7ج) 9
  3. في معيّن متعامد (O, I, J) نعتبر النقطتين ⁦A(2 ; −3)⁩ و ⁦B(−1 ; 1)⁩. مناظرة A بالنسبة إلى B هي النقطة:
    أ) ⁦(−3 ; 4)⁩ب) ⁦(−4 ; 5)⁩ج) ⁦(4 ; −5)⁩
خاصيات القوى والكتابة العلميةالسلاسل الإحصائية المنقطعة والمسترسلةالتعيين في المستوي
عناصر الإجابة
  • 1) ⁦(−2)³ = −8⁩ و ⁦4⁻² = 1/16⁩ و ⁦2⁵ = 32⁩، إذن الجذاء ⁦= −8 × 32/16 = −16⁩، الجواب (ج).
  • 2) الترتيب التصاعدي: ⁦4 ; 5 ; 7 ; 9 ; 12 ; 15⁩، عدد القيم زوجي فالموسّط ⁦(7 + 9)/2 = 8⁩، الجواب (أ).
  • 3) B منتصف ⁦[AA⁩′] إذن x′ ⁦= 2 × (−1) − 2 = −4⁩ و y′ ⁦= 2 × 1 − (−3) = 5⁩، الجواب (ب).

التمرين 2: قيمة مطلقة وحصر

3,5 نقاط

نعتبر العددين ⁦a = |3 − 2√3|⁩ و ⁦b = |√12 − 4|⁩.

  1. قارن 3 و ⁦2√3⁩ ثمّ بيّن أنّ ⁦a = 2√3 − 3⁩.
  2. بيّن أنّ ⁦b = 4 − 2√3⁩ ثمّ احسب ⁦a + b⁩.
  3. بيّن أنّ ⁦1/a = 1 + (2√3)/3⁩.
  4. علمًا أنّ 1,73 < √3 < 1,74، أعط حصرًا لكلّ من a و b، ثمّ قارن a و b.
القيمة المطلقة لعدد حقيقي وخاصياتهاحساب عبارات بها جذور تربيعيةالترتيب والجمع في IRالترتيب والضرب في IR
عناصر الإجابة
  • 1) ⁦3² = 9⁩ و ⁦(2√3)² = 12⁩ و ⁦9 < 12⁩ إذن ⁦3 < 2√3⁩، ومنه ⁦3 − 2√3 < 0⁩ و ⁦a = −(3 − 2√3) = 2√3 − 3⁩.
  • 2) ⁦√12 = 2√3⁩ و ⁦(2√3)² = 12 < 16 = 4²⁩ إذن ⁦2√3 < 4⁩، ومنه ⁦b = 4 − 2√3. a + b = 2√3 − 3 + 4 − 2√3 = 1⁩.
  • 3) ⁦1/a = 1/(2√3 − 3) = (2√3 + 3)/((2√3)² − 3²) = (2√3 + 3)/3 = 1 + (2√3)/3⁩.
  • 4) ⁦3,46 < 2√3 < 3,48⁩ إذن ⁦0,46 < a < 0,48⁩، و ⁦−3,48 < −2√3 < −3,46⁩ إذن ⁦0,52 < b < 0,54⁩. ومنه ⁦a < 0,48 < 0,52 < b⁩ أي ⁦a < b⁩.

التمرين 3: تفكيك ومعادلات ومجالات

5 نقاط

نعتبر العبارة ⁦F = (2x − 1)² − (x + 2)²⁩ حيث x عدد حقيقي.

  1. بيّن أنّ ⁦F = (x − 3)(3x + 1)⁩.
  2. بيّن أنّ ⁦F = 3x² − 8x − 3⁩.
  3. حلّ في ℝ المعادلة ⁦F = 0⁩ ثمّ المعادلة ⁦F = −3⁩.
  4. أ) حلّ في ℝ المتراجحة ⁦2(x − 1) − 3 ≥ 5x + 4⁩، وأعط مجموعة حلولها I في شكل مجال.
    ب) نعتبر المجال ⁦J = [−5 ; 2[⁩. حدّد ⁦I ∩ J⁩ و ⁦I ∪ J⁩.
  5. بيّن أنّه إذا كان ⁦x ∈ I⁩ فإنّ ⁦F > 0⁩.
الجذاءات المعتبرةالمعادلات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحدالمتراجحات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحدالمجالات في IR والحصر
عناصر الإجابة
  • 1) فرق مربّعين: ⁦F = (2x − 1 − x − 2)(2x − 1 + x + 2) = (x − 3)(3x + 1)⁩.
  • 2) ⁦F = 4x² − 4x + 1 − (x² + 4x + 4) = 3x² − 8x − 3⁩.
  • 3) ⁦F = 0⁩ تعني ⁦x = 3⁩ أو ⁦x = −1/3. F = −3⁩ تعني ⁦3x² − 8x = 0⁩ أي ⁦x(3x − 8) = 0⁩: الحلّان 0 و ⁦8/3⁩.
  • 4) أ) ⁦2x − 5 ≥ 5x + 4⁩ تعني ⁦−3x ≥ 9⁩ أي ⁦x ≤ −3⁩: ⁦I = ]−∞ ; −3]⁩. ب) ⁦I ∩ J = [−5 ; −3]⁩ و ⁦I ∪ J = ]−∞ ; 2[⁩.
  • 5) إذا كان ⁦x ≤ −3⁩ فإنّ ⁦x − 3 ≤ −6⁩ < 0 و 3x + 1 ≤ −8 < 0، وجذاء عددين سالبين موجب: F > 0.

التمرين 4: معيّن ومركز ثقل وطالس

4,5 نقاط
ABCDOIGK

(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر). في الرسم المقابل ABCD معيّن مركزه O حيث ⁦AC = 8⁩ و ⁦BD = 6. I⁩ منتصف ⁦[BC]⁩، والمستقيم (AI) يقطع ⁦[BD]⁩ في G.

  1. احسب AB.
  2. بيّن أنّ G مركز ثقل المثلث ABC، ثمّ احسب BG و GD.
  3. المستقيم المارّ من G والموازي لـ (AC) يقطع ⁦[BC]⁩ في K. احسب BK و GK.
  4. احسب مساحة المثلث ABG وتحقّق من أنّها تساوي ثلث مساحة المثلث ABC.
الرباعيات الخاصّة وخاصيّاتهانظرية بيتاغور وتطبيقاتهاتجزئة قطعة مستقيممبرهنة طالس في المثلث
عناصر الإجابة
  • 1) قطرا المعيّن متعامدان ومتناصفان: ⁦OA = 4⁩ و ⁦OB = 3⁩ والمثلث AOB قائم في O، إذن ⁦AB² = 16 + 9 = 25⁩ و ⁦AB = 5⁩.
  • 2) O منتصف ⁦[AC]⁩ فـ ⁦[BO]⁩ موسّط في المثلث ABC، و ⁦[AI]⁩ موسّط آخر، وهما يتقاطعان في G: G مركز ثقل ⁦ABC. BG = (2/3) × BO = 2⁩ و ⁦GD = BD − BG = 6 − 2 = 4⁩.
  • 3) حسب طالس في المثلث BOC: ⁦BK/BC = BG/BO = GK/OC = 2/3⁩، ومنه ⁦BK = (2/3) × 5 = 10/3⁩ و ⁦GK = (2/3) × 4 = 8/3⁩.
  • 4) (AO) ⊥ (BG) إذن مساحة ⁦ABG = (BG × AO)/2 = (2 × 4)/2 = 4 cm²⁩. مساحة ⁦ABC = (AC × OB)/2 = 12 cm²⁩ و ⁦4 = 12/3⁩.

التمرين 5: هرم منتظم

4 نقاط
ABCDOSI

(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر). SABCD هرم منتظم قاعدته المربّع ABCD الذي طول ضلعه 6 ومركزه O، وارتفاعه ⁦SO = 4. I⁩ منتصف ⁦[BC]⁩.

  1. بيّن أنّ ⁦OI = 3⁩ ثمّ احسب SI.
  2. بيّن أنّ المستقيم (BC) عمودي على المستوي (SOI)، ثمّ استنتج أنّ (BC) ⊥ (SI).
  3. احسب SB.
  4. احسب حجم الهرم SABCD ومساحته الجانبية.
الهرم المنتظم والمخروط الدورانيالتعامد في الفضاءنظرية بيتاغور وتطبيقاتها
عناصر الإجابة
  • 1) O منتصف ⁦[AC]⁩ و I منتصف ⁦[BC]⁩ إذن ⁦OI = AB/2 = 3 (⁩مستقيم المنتصفين). (SO) عمودي على المستوي (ABC) فهو عمودي على (OI): ⁦SI² = 16 + 9 = 25⁩ إذن ⁦SI = 5⁩.
  • 2) ⁦(OI) // (AB)⁩ و (AB) ⊥ (BC) إذن (BC) ⊥ (OI)، و (BC) ⊥ (SO) لأنّ (SO) ⊥ (ABC)؛ (OI) و (SO) متقاطعان في O إذن (BC) ⊥ (SOI)، ومنه (BC) عمودي على (SI) المحتوى في هذا المستوي.
  • 3) المثلث SIB قائم في I و ⁦BI = 3⁩: ⁦SB² = 25 + 9 = 34⁩ إذن ⁦SB = √34⁩.
  • 4) الحجم ⁦= (6² × 4)/3 = 48 cm³⁩. المساحة الجانبية ⁦= 4 × (6 × 5)/2 = 60 cm²⁩.

موضوع وعناصر إجابة من إعداد سكولار، ليس موضوعًا رسميًا. تُقبل كلّ طريقة صحيحة أخرى.

راجع الدروس المعنيّة

لكلّ درس شرح وأمثلة محلولة و6 تمارين مصحّحة.

دروس رياضيات التاسعةالمواضيع الرسمية
للأولياء

كيف ترافقون طفلكم في موضوع الرياضيات

  • نظّموا معه وقت الموضوع كما في يوم الامتحان، وشجّعوه على البدء بالتمرين الذي يرتاح إليه أكثر.
  • ذكّروه بأنّ تحرير الحلّ مهمّ مثل النتيجة: الخاصّيات المستعملة والمراحل مكتوبة بوضوح.
  • في الهندسة: اطلبوا منه رسمًا دقيقًا بالأدوات وتسجيل المعطيات عليه قبل البرهنة.
  • لا تعطوه الحلّ عند التعثّر؛ اسألوه عن الدرس أو الخاصّية التي قد تفيد، ودعوه يعيد المحاولة.
  • شجّعوه على التحقّق من النتائج (التعويض في المعادلة، معقولية القيس).

بعد أن ينجز طفلكم الموضوع، اسألوه:

  • «ما الخاصّية أو القاعدة التي استعملتها في هذا السؤال؟»
  • «هل تحقّقت من نتيجتك؟ كيف؟»
  • «ماذا ستراجع قبل الموضوع القادم؟»

مقالات أخرى في نصائح للأولياء.